%\documentclass{book} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{book} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}	
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hmargin={0.75cm,1cm},vmargin={0.5cm,1.25cm},twoside}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=violet,urlcolor=violet]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{utfsym}%symbole stylo
%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 
	\settasks{
		% the next two should be set to the same value so labels are aligned to the
		% left
		%label-width = 1em ,
		%item-indent = 1em ,
		%before-skip = 0pt%-\parskip , % undo paragraph skip
		%after-skip =0pt% -\parskip , % undo paragraph skip
		after-item-skip = -1pt%-\parskip % undo paragraph skip
	}
	
	\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket
	
	\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
	\opset{decimalsepsymbol={,}}
	
	\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
	%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
	%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|
	
	\usepackage{fancyhdr}
	
	%######Algo
	
	\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
		%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
		%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
		%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
		\lstdefinestyle{pythonstyle}{
			language=Python,
			backgroundcolor=\color{gray!30},   
			commentstyle=\color{Plum},
			keywordstyle=\color{blue},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{ForestGreen},
			basicstyle=\ttfamily\color{black},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                 
			numbers=none,                   
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		\lstset{style=pythonstyle}
		
		\lstdefinestyle{bashstyle}{
			language=bash,
			backgroundcolor=\color{black},   
			commentstyle=\color{white},
			keywordstyle=\color{magenta},
			numberstyle=\tiny\color{black},
			stringstyle=\color{white},
			basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
			breakatwhitespace=false,         
			breaklines=true,                 
			captionpos=b,                    
			keepspaces=true,                
			numbers=left,                    
			numbersep=5pt,                  
			showspaces=false,                
			showstringspaces=false,
			showtabs=false,                  
			tabsize=1
		}
		%\lstset{style=bashstyle}
		
		\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode
		
		\usepackage{scratch3}
		
		%############### Formule developpée molécule chimie
		
		\usepackage{chemfig}
		
		%#####################
		% Commande et environnement #
		%#####################
		
		\theoremstyle{plain}
		
		%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
		\usepackage{titlesec}
		\titleformat{\part}[block]{\huge\bfseries\filcenter}{ \thepart}{1em}{}
		\titleformat{\chapter}[block]{\color{Green}\Large\bfseries}{ \thechapter}{1em}{}
		\titleformat{\section}[block]{\color{purple}\large\bfseries\filcenter}{ \thesection}{1em}{}
		\titleformat{\subsection}[hang]{\color{blue}\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
		\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue}\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
		\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}
		
		\renewcommand{\thepart}{ ~}
		\renewcommand{\thechapter}{\color{Green}\arabic{chapter}. ~ ~ ~}
		\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
		\renewcommand{\thesubsection}{\color{blue}\arabic{subsection}}
		\renewcommand{\thesubsubsection}{}
		
		\newenvironment{correction}{\color{Brown} \footnotesize}{}
		
		\newenvironment{sujet}{}{}
		
		%environnement bareme
		\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}
		
		%environnement détais du barème
		\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement notabene
		\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}
		
		%environnement exemples
		\newenvironment{exemples}{\color{blue} \noindent Exemples.\vspace{-0.1cm}}{}
		
		%environnement remarques
		\newenvironment{remarques}{\noindent {\color{BlueViolet}Remarques.\vspace{-0.1cm}}\color{BlueViolet}}{}
		
		\newenvironment{lecon}{\color{CadetBlue}}{}
		
		
		%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
		\newsavebox{\selvestebox}
		\newenvironment{colbox}[1]
		{\newcommand\colboxcolor{#1}%
			\begin{lrbox}{\selvestebox}%
				\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
				{\end{minipage}\end{lrbox}%
			\begin{center}
				\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
		\end{center}}
		
		%environnement exercice
		\newcounter{Exercice}
		\setcounter{Exercice}{1}
		\newcounter{Exercicecorrection}
		%\newenvironment{exercice}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} {\noindent\color{Black}EXERCICE \theExercice.} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}%Pour numéroter comme exercices
		\newenvironment{exercice}{{\noindent\color{Black}\colorbox{violet}{\color{white}Exercice \theExercice.}} \addtocounter{Exercice}{1} \color{Black}}%Pour numéroter indépendamment exercicecorrection
		
		%environnement exercicecorrection
		%\newenvironment{exercicecorrection}{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection. \footnotesize}%Pour numéroter comme exercices
		
		\setcounter{Exercicecorrection}{1}\newenvironment{exercicecorrection}{{\noindent\color{Brown}Exercice \theExercicecorrection.}  \addtocounter{Exercicecorrection}{1} \footnotesize \color{Brown}}%pour numeroter indépendamment exercicesxorection
		
		%environnement definition
		\newcounter{Definition}
		\setcounter{Definition}{1}
		\newenvironment{definition}{\textbf{\color{Orange}Définition \theDefinition.} \addtocounter{Definition}{1} \color{Orange} }{}
		
		\newcounter{Theoreme}
		\setcounter{Theoreme}{1}
		\newenvironment{theoreme}{\textbf{\color{purple}Théorème \theTheoreme.} \addtocounter{Theoreme}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement proposition
		\newcounter{Proposition}
		\setcounter{Proposition}{1}
		\newenvironment{proposition}{\textbf{\color{purple}Proposition \theProposition.} \addtocounter{Proposition}{1}\color{purple}}{}
		
		%environnement démonstration
		\newcounter{Demonstration}
		\setcounter{Demonstration}{1}
		\newenvironment{preuve}{\noindent{\textbf{\color{PineGreen} Démonstration}.} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{PineGreen}}
		
		%environnement conclusion encadré et coloré
		\newenvironment{conclusion}
		{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
					{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }
		
		%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
		\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}}
		
		%########################
		%Test conditionnel pour l'affichage    #
		%########################
		\newif\ifs
		%\strue%affiche la boite à trous
		\sfalse%affiche la réponse
		
		%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
		\newcounter{Trous}
		\setcounter{Trous}{1}
		\newcommand{\trous}[2][3cm]{
			\ifs
			\begin{Form}
				\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
			\end{Form}
			\xspace
			\else
			#2
			\fi
			\addtocounter{Trous}{1}
		}
		
		%Un bug apparu en faisant la mise à jour de pi: les listes tasks ne se colorie plus et restent noir malgrer les commande. La solution est ce truc:
		\ExplSyntaxOn\makeatletter
		%patch needed to get a around a problem in the l3-drivers
		\AtBeginDocument{
			\cs_set_protected_nopar:Npn \color_ensure_current:
			{\set@color}
		}
		\ExplSyntaxOff\makeatother 
		
		%#########################
		%en tête puis pied de page
		%#########################
		
		\pagestyle{empty}
		\pagestyle{fancy} 
		\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
		\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
		\chead[\small ]{}% l left, c center, r right
		\rhead[]{}
		\lfoot[]{}
		\cfoot[\footnotesize \thepage ]{\footnotesize \thepage }
		\rfoot[]{}
		
		%############################
		%les environnements qu'on affiche ou pas  #
		%############################
		
		\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
		
		%Pour abrege
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}\exclure{culturegenerale}
		
		%Pour cours intégrale
		\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene}%\exclure{exercicecorrection}
		
		%Pour les exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction} %\exclure{exercicecorrection}
		
		%Pour les correction d'exercices uniquement.
		%\exclure{exemples} \exclure{remarques}  \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{preuve} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{sujet} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé sujet
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}
		
		%Pour devoir surveillé correction
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}
		
		%Pour devoir surveillé intégrale
		%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}
		
		%###############################
		%#Double numérotation des pages#
		%###############################
		%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
			%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 
			
			\begin{document}
		%	\small
		%	\include{2ieme_analyse_10_valeurs_approchees_encadrement_bouquin.tex}
		%\end{document}

\noindent \tableofcontents

\newpage
\small

\begin{lecon}
	L'objectif est de travailler des compétences qui doivent être maîtrisées avant d'aller au lycée. Les exercices doivent être faits sans calculatrice ou autre moyen de calcul.
\end{lecon}

\chapter{Priorités opératoires.}


\begin{lecon}
	La maîtrise de ces priorités est nécessaire en classe de seconde pour les problèmes de factorisation, de développement et donc l'étude du signe des fonctions ou la résolution des équations. La question n'est pas uniquement de savoir faire le calcul numérique mais de comprendre les règles.
	
	Les priorités opératoires dans l'ordre décroissant sont:
	\begin{itemize}
		\item Les parenthèses, ou les crochets en commençant par celles qui sont le plus intérieur.
		\item Les numérateurs et dénominateurs d'expressions fractionnaires.
		\item Les puissances.
		\item Les produits et les divisions en lignes ($\times$ et $\div$).
		\item Les additions et les soustractions.
	\end{itemize}
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $3-\left[1+2(3+1)\right]=3-\left[ 1+2 \times 4 \right]=3-\left[ 1+8\right]=3-9=-6$.
		\item $\dfrac{1-3 \times 5}{11+3}=\dfrac{1-15}{14}=\dfrac{-14}{14}=1$.
		\item $3 \times 2^2+9\div 3=2 \times 4+3=8+3=11$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Calculez en respectant chaque étape rendue nécessaire par une règle de priorité opératoire comme dans l'exemple précédent.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Les calculs suivants sont soit des produits, soit des quotient, soit des sommes (ou des différences). Dites dans chaque cas ce qu'il en est.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	QCM de calcul.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez le signe de 
	\begin{tasks}(3)
		\task $(\pi-3)(\pi-7)$.
		\task $(-1)^{101}(-2+3)$.
		\task $\sqrt{156}-12,5$.
	\end{tasks}
	\emph{Indication: pour le c) vous pouvez commencer par calculer $(\sqrt{156}-12,5)(\sqrt{156}+12,5)$.}
\end{exercice}
\chapter{Entiers.}

\begin{lecon}
	Tout nombre entier peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Les nombres premiers étant les entiers admettant exactement deux diviseurs positifs. Les petits nombres premiers à connaître: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item Décomposition en facteurs premiers de $24$: $24=2\times 2 \times 2 \times 3=2^3 \times 3$.
		\item Déterminons le pgcd et le ppcm de $42$ et $36$. $42=2\times 3 \times 7$ et $36=2^2 \times 3^2$ donc le pgcd est $2 \times 3=6$ et le ppcm $2^2 \times 3^2 \times 7$.
		\item Déterminons la forme irréductible d'une fraction: $\frac{36}{42}=\frac{2^2 \times 3^2}{2 \times 3 \times 7}=\frac{2\times 3}{7}=\frac{6}{7}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{lecon}
	Il existe différentes écritures de nombres mais elles ne sont pas forcément possibles pour tous les nombres. L'écriture décimale ou fractionnaire de $\pi$ ou de $\sqrt{2}$ n'est pas possible c'est pourquoi ils ont une autre forme d'écriture. Les écritures que vous devez connaître: décimale, fractionnaire, sous la forme $a\sqrt{b}$ ou encore l'écriture scientifique.
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Remplacez $\spadesuit$ par des chiffres afin que les nombres obtenus vérifient la condition donnée. Écrire toutes les solutions possibles.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\textbf{1) }$5\spadesuit8\spadesuit2$ est divisible par $9$. &
		\textbf{2) }$3\spadesuit5\spadesuit$ est divisible par $9$ et par $2$.\\
		\textbf{3) }$34\spadesuit45\spadesuit$ est divisible par $9$ et par $5$.&
		\textbf{4) }$5\spadesuit8\spadesuit2$ est divisible par $9$.\\
		\textbf{5) }$1\spadesuit3\spadesuit$ est divisible par $15$.&
		\textbf{6) }$\spadesuit2345\spadesuit$ est divisible par $11$ et par $3$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère les nombres $\np{4 116}$ et $\np{2 156}$.
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item Donnez leur décomposition en facteurs premiers.
		\item Déterminez leur pgcd et leur ppcm.
		\item Lequel de ces deux nombres a le plus de diviseurs?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En utilisant la décomposition en facteurs premiers, simplifiez au maximum les fractions.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{2.5cm}m{3cm}m{3cm}m{3cm}}
		$\displaystyle A=\frac{\np{71610}}{\np{20790}}$ & $\displaystyle B=\frac{\np{374850}}{\np{350350}}$ & $\displaystyle C=\frac{\np{2635}}{\np{1274}}$ & $\displaystyle D=\frac{\np{4923765}}{\np{980980}}$
	\end{tabular}	
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Décomposez $\np{111 111}$ en produit de facteurs premiers.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Par combien de zéros se terminent les nombres suivants?
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		$A=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 9 \times 10$, & $B=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 99 \times 100$, \\
		$C=100 \times 101 \times 102 \times 103 \times \dots \times 998 \times 999$. &
	\end{tabular}
\end{exercice}

\chapter{Calculer avec des fractions.}

\section{Produits ou quotients de fractions.}

\subsection{Les règles générales.}

\begin{lecon}
	$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b \times d}$ et $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\item $\frac{3}{7}\times \frac{5}{6}=\frac{3\times 5}{7 \times 6}$.
		\item $\frac{4}{2+x} \times \frac{x}{5}=\frac{4x}{(2+x)\times 5}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsection{Simplifier avant les calculs.}

\begin{lecon}
	Lorsqu'il y a un produit au numérateur et un produit au dénominateur et que ces deux produits ont un facteur commun on peut simplifier par ce facteur commun: $\frac{ab}{ac}=\frac{b}{c}$.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item On n'effectue pas les multiplications des numérateurs et dénominateurs on simplifie directement le facteurs communs: $\frac{6}{5}\times \frac{7}{6}=\frac{7}{5}$.
		\item $\frac{12}{5}\times {7}{6}=\frac{2\times 7}{5}=\frac{14}{5}$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Dans un lycée: $32\ \%$ des élèves de Seconde étudient le latin. $75\ \%$ de
	ceux qui étudient le latin ont commencé au collège. Il y a $225$ élèves en seconde. Combien d’élèves ont commencé le latin en seconde dans ce lycée?
	
	\emph{Indication: Pour calculer $a\ \%$ d’une valeur, on multiplie cette valeur par $\frac{a}{100}$.}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Écrivez les nombres suivants sous la forme $3^n\times 5^m \times 7^p$ avec $n$, $m$ et $p$ des entiers relatifs.
\end{exercice}

\section{Sommes ou différences de fractions.}

\subsection{La règle général.}

\subsection{Simplifier avant les calculs.}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}
	Calculez puis donnez les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}$,& $\displaystyle B=\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{5} \right)\times \frac{3}{4}$,& $\displaystyle C=\left( \frac{1}{3}+\frac{2}{5} \right) \div \frac{3}{4}$,\\
		$\displaystyle D=\frac{4}{7}-\frac{1}{7}\times \frac{5}{3}$,& $\displaystyle E=\frac{3}{7}-\frac{2}{5}\times \frac{15}{4}$,& $\displaystyle F=\frac{\frac{3}{5}+\frac{2}{3}}{\frac{9}{4}+1}$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez puis donnez les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{-8}{25}\div \frac{56}{-5}$,& $\displaystyle B=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{7}}$,& $\displaystyle C=\frac{3}{4}\div \frac{7}{8}$,\\
		$\displaystyle D=\frac{\frac{-4}{25}}{\frac{16}{35}}$,& $\displaystyle E=\frac{3-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}-\frac{5}{7}}$,& $\displaystyle F=\frac{\frac{2}{4}+\frac{5}{7}}{\frac{4}{7}-\frac{5}{7}}$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez puis donnez les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}} 
		$\displaystyle A=\left( \frac{1}{5}-\frac{2}{4} \right)\times \left( \frac{3}{7}-\frac{1}{2}\right)$,& $\displaystyle B=\left( \frac{3}{7}-\frac{1}{5}\right) \div \left( \frac{3}{2}-\frac{5}{4}\right)$,& $\displaystyle C=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\times \left( 3+\frac{1}{2} \right)$,\\
		$\displaystyle D=\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{3} \right)\times \left( \frac{3}{4}-\frac{3}{2} \right)$,& $\displaystyle E=\left( 1-\frac{2}{3} \right)\div \left( 1+\frac{1}{3}\right)$.&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez les expressions suivantes lorsque $\displaystyle a=\frac{2}{3}$, $\displaystyle b=-\frac{3}{2}$ et $\displaystyle c=\frac{-3}{4}$.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}} 
		$A=3a-b-c$,& $B=-2a+4b-5c$,& $C=6b^2-3a+5$,\\
		$\displaystyle D=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$,& $\displaystyle E=\frac{a+c}{a-b}$. &
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculez la valeur de $\displaystyle F=\frac{x+5y}{x}$ lorsque
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle x=\frac{2}{3}$ et $y=-4$,& $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ et $\displaystyle y=\frac{7}{10}$,& $x=-4$ et $\displaystyle y=-\frac{8}{5}$,\\
		$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$ et $\displaystyle y=\frac{2}{15}$.&&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Calculer puis donner sous forme d'une fraction irréductible. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{7}}{\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}}$,& $\displaystyle B=\frac{5+\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}{5-\frac{3}{4}+\frac{1}{3}}$,& $\displaystyle C=\frac{\frac{1}{5}-\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}}{\left( \frac{1}{5}-\frac{3}{4}\right) \times \frac{2}{3}}$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{5}{8}$ pour que la nouvelle fraction soit égale à $4$?
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Trouvez le nombre caché à la place de $\spadesuit$ et $\clubsuit$.
	
	$\displaystyle \frac{87}{100}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{\spadesuit}$ \qquad et \qquad $\displaystyle \frac{31}{17+\dfrac{101}{8-\frac{7}{\clubsuit}}}$.
\end{exercice}

\chapter{Puissances.}

\section{Formules.}

\begin{lecon}
	Les formules à connaître: $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$, $(a^n)^p=a^{n\times p}$.
	
	De plus les puissances sont prioritaires sur les multiplications et les divisions en ligne. Les parenthèses restent le plus prioritaire.
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item La puissance est prioritaire: $2 \times 3^3=2\times 27=54$.
		\item Utilisation des formules: $\frac{2^3 \times 2^{-5}}{2 ^7}=2^{3-5}\times 2^{-7}=2^{-2-7}=2^{-9}=\frac{1}{2^9}$.
		\item remarquons que $\frac{13}{2^{-9}}=13\times 2^9$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\begin{exercice}
	Écrivez les nombres sous la forme $3^n$ avec $n$ un entier relatif.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{3^5\times 3^2}{3^{-7}}$,& $\displaystyle B=\left( 3^2 \times 3^3 \right)^4$,& $\displaystyle C=3^2 \times \left( 3^3 \right)^4$,
		\\
		$\displaystyle D=\frac{\left( (-3)^2 \times 3^2\right)^3}{(-3)^5)}$,& $\displaystyle E=\frac{\left( (-3)^2 \right)^3}{(-3)^3 \times (-3)}$,& $\displaystyle F=\frac{3^{-2}\times 9^{-8}}{3^4\times 27^{-17}}$,\\
		$\displaystyle G=\left( \frac{1}{3^5}\times (3^2)^3\right)^2$,& $\displaystyle H=\frac{3^2 \times 27}{81^2}$.&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Écrivez les nombres sous la forme $a^n$ avec $a$ un entier naturel et $n$ un entier relatif.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=2^4\times 4^{-5}$,& $\displaystyle B=2^5 \times 8^{-3}$,& $\displaystyle C=\frac{8^3}{4^3}$,
		\\
		$\displaystyle D=0,25^{-6}\times 4^{-25}$,& $\displaystyle E=5^4 \times 25^{-7}\times 125^2$,& $\displaystyle F=\frac{7^6\times (-49)^5}{7^{-9}}$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Écrivez les nombres sous la forme $2^n\times 5^m$ avec $n$ et $m$ des entiers relatifs.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{2^4}{\left( 2^2 \times 5 \right)^5}$,& $\displaystyle B=\frac{2\times (5^2)^3}{2^{-3}}$,& $\displaystyle C=\frac{\left( 2^3 \times 2^{-4} \right)^2}{(5^3)^2 \times 5^{-5}}$,
		\\
		$\displaystyle D=\frac{(10^2)^3}{2^{-4}\times 25^6}$,& $\displaystyle E=\left( \frac{2}{5} \right)^4 \times \left( \frac{5^2}{2} \right)^3$,& $\displaystyle F=\frac{64^3 \times 125^4}{250^7}$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $a$ et $b$ des nombres non nuls. Écrire les expressions sous la forme $a^n\times b^m$ avec $n$ et $m$ entiers relatifs.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$\displaystyle A=\frac{a^2b^{-3}}{a^{-2}b}$,& $\displaystyle B=\frac{a^6b^{-4}}{a^{10}b^{-8}}$,& $\displaystyle C=\frac{(a^2b)^3}{ba^{-2}}$,
		\\
		$\displaystyle D=a^2(ab)^{-3}(b^{-2})^{-3}$,& $\displaystyle E=\frac{(ab^2)^{-1}}{a^{-2}b^{-7}}$,& $\displaystyle F=(a^3b)^{3}(a^2b^5)^5$,\\
		$\displaystyle G=\frac{(ab^3)^{-4}(a^{-2}b)^2}{a^{-6}b^4}$.&&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\section{Exercices.}

\begin{exercice}
	Déterminez le nombre de chiffres de $4 ^{16} \times 5^{25}$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Déterminez la somme des chiffres du nombre $10^{\np{2046}}-2046$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	En ajoutant $4^{15}$ et $8^{10}$ on obtient une puissance de $2$. Laquelle?
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dans chacun des cas, déterminer l’entier naturel $n$. 
	\begin{tasks}(2)
		\task $2^4 \times 3^2 \times 5^6 \times 7^2=n^2$,
		\task $2^3\times 3^6\times 5^3 \times 7^3=n^3$,
		\task $\left( \frac{4^5+4^5+4^5+4^5}{3^5+3^5+3^5}\right)\left( \frac{6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5}{2^5+2^5}\right)=2^n$,
		\task $3^{2001}+3^{2002}+3^{2003}=n\times 3^{2001}$,
		\task $8^n=2^n\times 2^{12}$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\chapter{Formules algébriques.}

\begin{exercice}
	Exprimez les calculs effectués par les programmes suivants avec une formule de calcul en fonction de $x$.
	\begin{tasks}(2)
		\task Programme 1.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Prendre un nombre $x$.
			\item Ajouter $1$ au résultat.
			\item Triplet le résultat.
			\item Diviser le résultat par $5$.
		\end{enumerate}
		\task Programme 2.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Prendre un nombre $x$.
			\item Enlever $2$.
			\item Élever le résultat au cube.
			\item Ajouter $3$ au résultat.
		\end{enumerate}		
		\task Programme 3.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Prendre un nombre $x$.
			\item Le tripler.
			\item Enlever $5$ au résultat.
			\item Élever au carré le résultat.
			\item Ajouter $1$ au résultat.
			\item Inverser ce résultat.
		\end{enumerate}		
		\task Programme 4.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Prendre un nombre $x$.
			\item L'inverser.
			\item Ajouter $2$ au résultat.
			\item Prendre l'opposé de ce résultat.
		\end{enumerate}
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez sous une forme simplifiée les opposés de:
	\begin{tasks}(5)
		\task $3-2x$
		\task $x^2$
		\task $\frac{x-1}{2}$
		\task $(x-1)(2-x)$
		\task $-\frac{2}{x}$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Donnez sous une forme simplifiée les inverses de:
	\begin{tasks}(5)
		\task $\frac{x}{5}$
		\task $x^2+1$
		\task $\frac{5}{2}+\frac{3}{7}$
		\task $\frac{x}{2}+1$
		\task $-\sqrt{2}$
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Dites si chacune des phrases est vraie pour tous $a$ et $b$ non nuls.
	\begin{tasks}
		\task L’opposé de la somme de $a$ et de $b$ est la somme des opposés de $a$ et $b$.
		\task L’opposé du produit de $a$ et de $b$ est le produit des opposés de $a$ et $b$.
		\task L’inverse de la somme de $a$ et de $b$ est la somme des inverses de $a$ et $b$.
		\task L’inverse du produit de $a$ et de $b$ est le produit des inverses de $a$ et $b$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\chapter{Développer et factoriser.}

\section{Écriture réduite et ordonnée.}

\begin{lecon}
	On ne réduit qu'une expression déjà développée. Réduire signifie deux choses à faire dans cet ordre: simplifier les multiplications (remplacer $x \times 3x$ par $3x^2$) puis en regroupant et en additionnant les termes de même nature, de même puissance de $x$ (remplacer $3x-7x^2+2x$ par $5x-7x^2$).
\end{lecon}

\begin{exercice}
	Réduisez.
	\begin{tasks}(4)
		\task $2x+3x$
		\task $2x \times 3x$
		\task $2x^2+3x^2$
		\task $2x^2 \times 3x^2$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Réduisez.
	\begin{tasks}(2)
		\task $3\times x^2+9\times x-x\times 5-2 \times x^2-4$
		\task $x^2-6+2 \times x-x\times 4+3x^2+x-5$
	\end{tasks}
\end{exercice}
\section{Les règles de développement du collège.}

\begin{lecon}
	Vous devez déjà avoir automatisé ces techniques. Nous nous entraînons avec des puissances de $x$ (polynôme) mais vous aurez à le faire dans de nombreuses situations.
	\begin{itemize}
		\item $a(b+c)=ab+ac$ (distributivité),
		\item $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ (double distributivité),
		\item $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (identité remarquable),
		\item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (identité remarquable),
		\item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ (identité remarquable).
	\end{itemize}
\end{lecon}

\begin{exemples}
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\setlength{\parskip}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{0pt}
		\item $3x(4-5x)=3x \times 4+3x \times (-5x)=12x-15x^2=-15x^2+12x$.
		\item $2-(x^2+x-1)=2-x^2-x+1=-x^2-x+3$.
		\item $(2x-3)(-x+4)=2x \times (-x)+2x\times 4 +(-3) \times (-x)+(-3)\times 4=-2x^2+8x+3x-12=-2x^2+11x-12$.
		\item $(a^2b+a)(ab^2+a)=a^2b\times ab^2+a^2b\times a +a \times ab^2+a \times a=a^3b^3+a^3b+a^2b^2+a^2$.
	\end{enumerate}
\end{exemples}

\subsection{Distributivité simple.}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=a\times(a+3)$,& $B=(x^2+4)\times x$,& $C=a \times (a^2+a)$,\\
		$D=a\times (a^2+1)$,& $E=a \times (3a+6)$,& $F=b \times (3b^2+5b)$,\\
		$G=(7b^2-6b)\times b$,& $H=x \times (5x^2+2x)$,& $I=(a^2+2a)\times a$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{2.5cm}m{3cm}m{3cm}m{3cm}}
		$A=x^2(2x+x^2)$,& $B=(2x^2-5)\times 3x^2$,& $C=7a^3\times (3a^2+2a)$,& $D=3x \times (5x^2-3x)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=2xy(x^2y+x)$,& $B=(2ab-4ab^2)3a^2b$,& $C=5y^2(y^3-2x^2y+1)$,\\
		$D=(3a^3-2a^2b-1)4ab$,& $E=2x^3(3xy+x)$,& $F=(2a^2b-3b)ab$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\subsection{Double distributivité.}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=(3t-2)(7t-4)$,& $B=(4s-1)(2s+5)$,& $C=(3x+5)(2x1)$,\\
		$D=(7y-3)(2y-1)$,& $E=(x+3y)(2x-y)$,& $F=(4x-5y)(x-y)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=(3x^2-5)(2x^2+1)$,& $B=(a^2b+3a)(2a^2b-a)$,& $C=(5ab-2b)(ab-4b)$,\\
		$D=(3y^2-5x)(3x+5y^2)$,& $E=(2x^2-3x)(-4x+5x^2)$,& $F=(-2x^2-5y)(-x-4y^2)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		$A=(2a^3-7b)(-7a+3b^2)$,& $B=(5abc-2ab)(12ab-15abc)$,\\
		$C=(5ab^2+3a^2b)(-4a^2b+3ab^2)$,& $D=(2a^3b-7ab^3)(-a^3b+2ab^3)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\subsection{Identités remarquables.}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=(7x-2y)^2$,& $B=(4a-2b)^2$,& $C=(3a+2b)^2$,\\
		$D=(7x-12y)^2$,& $E=(2b-7c)^2$,& $F=(x-7y)(x+7y)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=(3a-2b)^2$,& $B=(2-2b)^2$,& $C=(6a+b)^2$,\\
		$D=(3x-z)(3x+z)$,& $E=(4a-7)^2$,& $F=(10a-7b)^2$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez, ordonnez et réduisez.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=(2a-b^2)^2$,& $B=(2a^2+b)^2$,& $C=(3x^2-y)(3x^2+y)$,\\
		$D=(3a^2-2b^3)^2$,& $E=(x^3+y^3)(x^3-y^3)$,& $F=\left( 3x^2-\frac{1}{3}x \right)^2$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\subsection{Facteur commun.}

\begin{exercice}
	Factorisez en utilisant un facteur commun.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		$A=(x+1)(x-3)$,& $B=-4(2x+1)-(5x-3)(2x+1)$,
		\\
		$C=(6-7x)(x-2)-(x+1)(6-7x).$&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Factorisez en utilisant un facteur commun. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		$A=3(x-2)+(x+3)(x-2)$,& $B=5x(x-3)-x(x+1)$,\\
		$C=(x+5)^2+(x-5)(x+5)-3(x+5)$,& $D=5(2x-1)^3+(2x-1)^2(x+2)$,\\
		$E=x^2(x-2)+3x^3$,& $F=(x-3)^2-2x(x-3)+(x-3)$, \\
		$G=(2x-3)^2+5x(3-2x)$,& $H=(2x+5)-(x+3)(4x+10)$,\\ $I=(x+9)(x-5)+2(6x-30)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\subsection{Factoriser avec les identités remarquables.}

\begin{exercice}
	Factorisez en utilisant une identité remarquable. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=x^2+10x+25$,& $B=16-25x^2$,& $C=1-12x+36x^2$,
		\\
		$D=(x+7)^2-1$,& $E=16x^2-8x+1$,& $\displaystyle F=64-(2x+3)^2$,\\
		$G=(3x-1)^2-9$,& $H=4x^2-20x+25$.&
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Factorisez en utilisant une identité remarquable. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=4x^2-(x-5)^2$,& $\displaystyle B=\frac{1}{4}x^2+x+1$,& $C=81+4x^2+36x$,
		\\
		$D=9(x+1)^2-36$,& $E=(2x+3)^2-(x-1)^2$,& $\displaystyle F=\frac{4}{9}-\left( 2x+\frac{1}{3}\right)^2$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Factorisez en utilisant une identité remarquable. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		$A=x^2-9+(x-3)(2x+5)$, & $B=5x(4x-1)+16x^2-1$,\\
		$C=x^2-25x+x-5$,& $D=4x^2+4x+1-(2x+1)(3-5x)$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\subsection{Factoriser par regroupements de termes.}

\begin{exercice}
	Factorisez le plus possible. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=ax+ay+bx+by$,& $\displaystyle B=ab+ac+bd+dc$,& $C=ad+ac-bd-bc$,
		\\
		$D=21xy-3x-28y+4$,& $E=ac+3ad-2bc-6bd$,& $\displaystyle F=5ax-5ay-bx+by$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Factorisez le plus possible. 
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		$A=x^3+4x^2+x+4$,& $\displaystyle B=3x^3-x^2+6x-2$,& $C=5x^3+x^2+5x+1$,
		\\
		$D=18x^3+9x^2+2x+1$,& $E=x^3+x^2+x+1$,& $\displaystyle F=x^5+x^4+x+1$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\section{Exercices.}

\begin{exercice}
	Développez astucieusement puis simplifiez. $A=(x+a)(x-a)(x^2-a^2)$, $B=(2a-1)(2a+1)(4a^2+1)$, $C=(x-1)(x^2+1)(x+1)$, $D=(x+2)(x-2)(x^4+16)(x^2+4)$, $E=(x^2-1)(x^2+1)(x^4-8)$, $F=(4a^2+3)(2a^2+1)(2a^2-1)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Développez astucieusement puis simplifiez. $A=((x-1)+x^2)((x-1)-x^2)$, $B=(x+(2+x^2))(x-(2+x^2))$, $C=(x+y-1)(x-y+1)$, $D=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels non nuls. On pose: $a=\frac{y}{z}+\frac{z}{y}$, $b=\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$ et $c=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$. Calculez $a^2+b^2+c^2-abc$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Sachant $X+Y=1$ et $X^2+Y^2=2$, déterminez
	\begin{tasks}(4)
		\task $XY$,
		\task $\dfrac{1}{X}+\dfrac{1}{Y}$,
		\task $X^3+Y^3$,
		\task $X^4+Y^4$.
	\end{tasks}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Un entier naturel non nul est écrit sur chacune des faces d’un
	cube, et sur chaque sommet on écrit le produit des nombres
	inscrits sur les trois faces adjacentes à ce sommet. La somme des nombres placés aux sommets du cube est $105$. Quelle est la somme des nombres placés sur les faces du cube?
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Décomposez en produit de facteurs premiers $A = \np{24 999 999}$ et $B = \np{1 018 081}$.
\end{exercice}

\chapter{Équations.}

\section{Équations du premier de degré.}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		\textbf{1) } $1-2x+3-5x=-x-1+2-4x$, & \textbf{2) } $-5x+1-x+3-4x+1=0$,\\
		\textbf{3) } $(2x+1)-3(5x+1)=2(x-4)-(3x-6)$,& \textbf{4) } $3x-4(x+2)=x+3-(7-6x)$, \\
		\textbf{5) } $7-(2x-3)+x=x-1-3(2x+1)$ & \textbf{6) } $4-(-2x-(5+4x))=5x-(3-2(4x-1))$.  
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		\textbf{1) } $\displaystyle \frac{x-3}{4}=x+3$, & \textbf{2) } $\displaystyle \frac{1}{2}x+2=\frac{1}{3}x-1$,& \textbf{3) } $\displaystyle \frac{2x-1}{3}=\frac{-5-x}{4}$,\\ &&\\
		\textbf{4) } $\displaystyle \frac{2x-3}{4}=\frac{3x-1}{2}$,& \textbf{5) } $\displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{x}{6}$ & \textbf{6) } $\displaystyle \frac{3}{8}x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}$,\\ &&\\
		\textbf{7) } $\displaystyle \frac{x}{2}-1=\frac{7x-4}{8}$ & \textbf{8) } $\displaystyle \frac{5}{6}x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}$.&		
	\end{tabular}
\end{exercice}

\section{Équations $x^2=a$.}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{2.5cm}m{2.5cm}m{3cm}m{3cm}}
		\textbf{1) } $x^2+5=0$, & \textbf{2) } $2x^2-18=0$,& \textbf{3) } $x^2-1=2x^2-3$,& \textbf{4) } $3x^2-7=x^2-7$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Résolvez les équations.
	
	\noindent\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		\textbf{1) } $(x-3)^2=49$, & \textbf{2) } $(x-4)(x+4)=9$,& \textbf{3) } $(2x+7)^2=25$.
	\end{tabular}
\end{exercice}

\section{Exercices.}

\begin{exercice}
	Chaque question est un problème de géométrie à part entière.
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\item L’aire d’un trapèze est de $85,5\ \mathrm{cm}^2$. Sa hauteur est de $4,5\ \mathrm{cm}$. Une de ses bases mesure $15\ \mathrm{cm}$. Calculer la longueur de l’autre base.
		\item Le périmètre d’un rectangle mesure $240\ \mathrm{m}$. Sa longueur mesure $26\ \mathrm{m}$ de plus que sa largeur. Calculer ses dimensions.
		\item Combien mesure le côté d’un triangle équilatéral dont une
		hauteur mesure $6\ \mathrm{cm}$?
		\item Un rectangle a $15\ \mathrm{m}$ de largeur. Si on diminuait sa longueur de $14\ \mathrm{m}$ et si on augmentait sa largeur de $6\ \mathrm{m}$, l’aire ne varierait pas. Calculer la longueur de ce rectangle.
		\item Dans un losange, la grande diagonale mesure $7\ \mathrm{cm}$ de plus que la petite. Si on diminuait la longueur de la grande diagonale de $9\ \mathrm{cm}$ et si on augmentait la longueur de la petite
		diagonale de $5\ \mathrm{cm}$, l’aire diminuerait de $82\ \mathrm{cm}^2$. Calculer la longueur de chaque diagonale.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Chaque question est un problème à part entière.
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\item L’âge d’un père est le quadruple de celui de son fils. Quel
		est l’âge du père, sachant que, dans 20 ans, il ne sera plus
		que le double de celui de son fils?
		\item Bob a le double de l’âge de Joe. Il y a 10 ans, Bob avait quatre
		fois l’âge de Joe. Quels sont les âges de Bob et de Joe ?
		\item Il y a 55 ans, l’âge d’un père dépassait de 25 ans l’âge de son
		fils. Dans 14 ans, l’âge du fils sera égal aux trois quarts de
		l’âge de son père. Quels sont les âges du père et du fils ?
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	Soit l'expression: $A=9x^2-49+(3x+7)(2x+3)$.
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item Développez l'expression $A$.
		\item Factorisez $9x^2-49$, puis l'expression $A$.
		\item Résolvez l'équation $A=0$.
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	On considère l'expression $E=(3x+2)^2-(x-1)^2$.
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item Développez et réduisez $E$.
		\item Factorisez $E$.
		\item Résolvez l'équation $E=0$. 
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\chapter{Fonctions.}

\begin{exercice}
	Voici un programme de calcul:
	
	\begin{tabular}{|m{6cm}|}
		\hline
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Choisir un nombre;
			\item ajouter $1$ à ce nombre;
			\item calculer le carré du résultat;
			\item soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent;
			\item écrire le résultat.
		\end{enumerate}
		\\ \hline
	\end{tabular}
	
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item On choisit $4$ comme nombre de départ. Quel est le résultat obtenu?
		\item On note $x$ le nombre choisi. Exprimer le résultat du programme en fonction de $x$.
		\item Soit $f$ la fonction définie par $f:x \mapsto 2x+1$.
		\begin{enumerate}[\bf a) ]
			\item Calculez l'image de $0$ par $f$.
			\item Déterminez l'antécédent de $5$ par $f$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	L'unité de longueur est le centimètre.
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (R) at (0,0);
		\draw (R) node[left] {$R$};
		\coordinate (M) at (10,0);
		\draw (M) node[right] {$M$};
		\draw (R) -- (M);
		\draw (5,0) node {$\times$};
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({5*cos(\x)+5},{5*sin(\x)});
		\draw (8.5,5) node {$\mathscr{C}$};
		\coordinate (T) at ({6*6/10},{6*8/10});
		\draw (T) node[above left] {$T$};
		\draw (R) -- (T) -- (M);
		\def\alp{0.4};
		\coordinate (S) at ({\alp*6*6/10},{\alp*6*8/10});
		\draw (S) node[above] {$S$};
		\coordinate (H) at ({\alp*10},{0});
		\draw (H) node[below left] {$H$};
		\draw[samples=100,domain=0:10] plot({\x},{(-\alp*6*8/10)/(\alp*10-\alp*6*6/10)*\x-(-\alp*6*8/10)/(\alp*10-\alp*6*6/10)*\alp*10});
	\end{tikzpicture}

	Soit $\mathscr{C}$ un cercle de diamètre $RM=10$. Soit $T$ un point de $\mathscr{C}$ tel que $RT=6$. Soit $S$ un point de $[RT]$  et $H$ un point de $[RM]$ tel que $(SH)//(TM)$. On pose $RS=x$.
	\begin{enumerate}[\bf 1) ]
		\item Démontrer que RM T est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que $TM = 8$.
		\item Déterminer, en fonction de $x$, $RH$ et $SH$.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $RSH$.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du trapèze $STMH$.
		\item On considère les fonctions affines $f$ et $g$ telles que: $f:x \mapsto 4x$ et $g:x \mapsto 24-frac{4}{3}x$.
		\begin{enumerate}
			\item Calculez $f(0)$, $f(6)$, $g(0)$ et $g(6)$.
			\item Déterminez par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=g(x)$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
	L’unité de longueur est le mètre.
	
	\textbf{Partie A.}
	
	Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et	$AC = 5$.
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\coordinate (B) at (4,0);
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\coordinate (C) at (0,5);
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\def\h{2};
		\coordinate (M) at (0,{\h});
		\draw (M) node[left]{$M$};
		\coordinate (N) at ({4/5*(5-\h)},{\h});
		\draw (N) node[right]{$N$};
		\fill [gray, opacity=0.3] (M) -- (N) -- (B) -- (A) -- cycle;
		\draw ({(4/5*(5-\h)+4)/4},{\h/2}) node{$\mathcal{A}(x)$};
	\end{tikzpicture}
	
	Soit $M$ un point du segment $[AC]$. On pose $AM = x$. La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe le segment $[BC]$ en $N$.
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Entre quelles valeurs peut varier $x$? Quelle est, en fonction de $x$, la longueur $CM$?
			\item Démontrez que $M N = 4- 0,8x$.
		\end{enumerate}
		\item Calculez, en fonction de $x$, l’aire $A(x)$ du trapèze $ABNM$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Partie B.}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\coordinate (B) at (4,0);
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\coordinate (C) at (0,5);
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		\def\h{2};
		\coordinate (M) at (0,{\h});
		\draw (M) node[left]{$M$};
		\coordinate (N) at ({4/5*(5-\h)},{\h});
		\draw (N) node[above right]{$N$};
		\def\tx{4.5};
		\def\ty{1.5};
		\coordinate (D) at ({\tx},{\ty});
		\draw (D) node[above left]{$D$};
		\coordinate (E) at ({\tx+4},{\ty});
		\draw (E) node[below right]{$E$};
		\coordinate (F) at ({\tx},{\ty+5});
		\draw (F) node[above]{$F$};
		\draw[dashed] (E) -- (D) -- (F);
		\draw[dashed] (A) -- (D);
		\draw (B) -- (E) -- (F) -- (C);
		\coordinate (Q) at ({\tx},{\h+\ty});
		\draw (Q) node[above left]{$Q$};
		\coordinate (P) at ({4/5*(5-\h)+\tx},{\h+\ty});
		\draw (P) node[above right]{$P$};
		\draw (M) -- (N) -- (P);
		\draw[dashed] (M) -- (Q) -- (P);
		\fill [gray, opacity=0.3] (A) -- (B) -- (E) -- (P) -- (Q) -- (M) -- cycle;
	\end{tikzpicture}
	
	Le schéma ci-dessus représente une citerne posée sur un sol horizontal. Elle a la forme d’un prisme droit $ABCDEF$:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item sa base $ABC$ est le triangle décrit dans la première partie;
		\item $BE=10$.
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}[\bf1) ]
		\item Quel est, en mètres cubes, le volume de la citerne?
		\item La citerne contient de l’eau jusqu’au niveau du plan $M N P Q$, comme l’indique le schéma. $x$ désignant la longueur $AM$, démontrer que le volume d'eau $\mathcal{V}(x)$ est égal à $4x(10- x)$.
		\item Calculez le volume d’eau contenue dans la citerne lorsqu’elle est remplie à mi-hauteur.
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant avec une calculatrice:
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$x$ & $1$ & $1,4$ & $1,5$ & $1,6$ & $2$
				\\
				\hline
				$\mathcal{V}(x)=4x(10-x)$ & &&&&
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\item Déduisez-en un encadrement à $0,1$ près de la hauteur d’eau lorsque la citerne est remplie à la moitié de sa capacité.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}

\section{Modèles.}

\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\itemsep}{0pt}

Dessin stylo \usym{1F589}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}

\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick,black] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick,black] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\draw (O) node {$\bullet$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\draw (I) node {$\bullet$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	\draw (J) node {$\bullet$};
	%Graduations
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Rectangle en coin.}

\begin{tikzpicture}
\def\xangledroit{0};
\def\yangledroit{0};
\def\longueurangledroit{0.5};
\draw[fill=green!30,rotate around={{20}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
\end{tikzpicture}

ou bien avec matrice rotation plus translation ici 45 degres et translation de vecteur (1,1).
\begin{tikzpicture}
\def\code{0.2};
\draw [cm={cos(-45) ,-sin(-45) ,sin(-45) ,cos(-45) ,(1,1)}]  ({-\code},{0}) -- ({0-\code},{0+\code}) -- (0,{0+\code});
\end{tikzpicture}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}

\subsection{Engrenages.}
\newcommand{\roue}[4]{% #1 = rayon, #2 = nombre de dents, #3 = X centre, #4 = Y centre
\foreach \i in {1,2,...,#2}
{
	\pgfmathparse{360*(\i-1)/#2}\let\angle\pgfmathresult
	
	\begin{scope}[shift={(#3,#4)}]
		\pgfmathparse{#1*cos(90+360/(#2*4))}\let\Ax\pgfmathresult 
		\pgfmathparse{#1*sin(90+360/(#2*4))}\let\Ay\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{#1*cos(90-360/(#2*4))}\let\Bx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{#1*sin(90-360/(#2*4))}\let\By\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90+360/(#2*8))/3}\let\Cx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90+360/(#2*8))/3}\let\Cy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{4*#1*cos(90-360/(#2*8))/3}\let\Dx\pgfmathresult
		\pgfmathparse{4*#1*sin(90-360/(#2*8))/3}\let\Dy\pgfmathresult
		
		\pgfmathparse{90-360/(#2*4)}\let\a\pgfmathresult
		\pgfmathparse{90-1.5*360/(#2*2)}\let\b\pgfmathresult
		
		\draw[rotate=\angle] (\Ax,\Ay) to[bend left=15] (\Cx,\Cy) -- (\Dx,\Dy) to[bend left=15] (\Bx,\By) arc (\a:\b:#1cm); 
	\end{scope}
}
}

\begin{tikzpicture}
\roue{3}{20}{0}{0}
\roue{3}{16}{7.4}{2}
\end{tikzpicture}